domingo, 29 de enero de 2012

Entrega de diplomas

Fase autonómica de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

El 20 de mayo se hizo entrega de los diplomas a la promoción de medicina de 2011.

Los organizadores del acto pensaron que, para acabar más pronto, los alumnos deberían subir al escenario en grupos.

Pero al tratar de agruparlos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco o de seis en seis, vieron que en todos los casos sobraba un alumno.

Sin embargo, agrupándolos de siete en siete, todos los grupos quedaban igual, con lo que el acto se llevo a cabo de esta forma.

Sabiendo que eran menos de 400 ¿podrías decir cuántos alumnos eran en la promoción?

Solución

viernes, 27 de enero de 2012

Números elegantes

Concurso de El Pais, octubre de 2011

Un número es elegante si al sumar los cuadrados de sus cifras, repetir la esta misma operación sobre el resultado obtenio, e iterar este proceso suficientes veces obtenemos finalmente 1.

Por ejemplo, el número 9.100 es elegante, ya que, primero, 92 + 12 + 02 + 02 = 82. Siguiendo el proceso: 82 + 22 = 68. Iterando una vez más: 62 + 82 = 100. Y, por último, 12 + 02 + 02 = 1.

El desafío consiste en encontrar infinidad de parejas de números consecutivos tal que ambos sean elegantes.

Solución

domingo, 15 de enero de 2012

Cuadriláteros especiales

Fase local de XLVIII Olimpiada Matemática Española, 2011/12

Sea ABCD un cuadrilátero convexo y P un punto interior. Determinar qué condiciones deben cumplir el cuadrilátero y el punto P para que los cuatro triángulos PAB, PBC, PCD y PDA tengan la misma área

Solución

sábado, 7 de enero de 2012

El DNI en Torrelandia

Fase provincial de Valencia de la XXII Olimpiada Matemática de la Comunidad Valenciana, 2011

A los habitantes de Torrelandia se les asigna un número de DNI que tiene nueve dígitos.

A Pitágoras Pi, le han asignado un número que tiene una curiosa particularidad.

Está formado por nueve cifras distintas, todas del 1 al 9.

Es divisible entre 9.

Si le quitamos las última cifra, el número que queda es divisible entre 8.

Si le quitamos las dos últimas cifras, es divisible entre 7.

Si le quitamos las tres últimas cifras, es divisible entre 6.

Y así sucesivamente, hasta que le quitamos las ocho últimas cifras, en cuyo caso es múltiplo de 1, por supuesto.

¿Podrías indicar cuál es ese número?

Solución